10470. Точки M
и N
лежат на боковой стороне PQ
трапеции PQRS
с основаниями PS
и RQ
, а точки K
и L
— на боковой стороне RS
. Известно, что MK\parallel NL\parallel PS
, PS:QR=3:1
и QM:MN:NP=1:2:3
. В каком отношении диагональ PR
трапеции PQRS
делит площадь четырёхугольника MKLN
?
Ответ. 2:3
.
Решение. Пусть диагональ PR
пересекает отрезки MK
и NL
в точках A
и B
соответственно. Тогда
RA:AB:BP=RK:KL:LS=QM:MN:NP=1:2:3.
По условию \frac{QR}{PS}=\frac{1}{3}
, поэтому \frac{S_{\triangle PQR}}{S_{\triangle PRS}}=\frac{1}{3}
. Обозначим S_{PQRS}=s
. Тогда
S_{\triangle PQR}=\frac{1}{4}s,~S_{\triangle PRS}=\frac{3}{4}s.
Из подобия треугольников PNB
, PMA
и PQR
получаем, что
S_{\triangle PNB}=\left(\frac{PN}{PQ}\right)^{2}S_{\triangle PQR}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}s=\frac{1}{16}s,
S_{\triangle PMA}=\left(\frac{PM}{PQ}\right)^{2}S_{\triangle PQR}=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}s=\frac{25}{144}s.
Значит,
S_{AMNB}=S_{\triangle PMA}-S_{\triangle PNB}=\frac{25}{144}s-\frac{1}{16}s=\frac{1}{9}s.
Аналогично
S_{\triangle ARK}=\left(\frac{RK}{RS}\right)^{2}S_{\triangle PRS}=\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\cdot\frac{3}{4}s=\frac{1}{48}s,
S_{\triangle BRL}=\left(\frac{RL}{RS}\right)^{2}S_{\triangle PRS}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\frac{3}{4}s=\frac{3}{16}s.
Значит,
S_{ABLK}=S_{\triangle BRL}-S_{\triangle ARK}=\frac{3}{16}s-\frac{1}{48}s=\frac{1}{6}s.
Следовательно,
\frac{S_{AMNB}}{S_{ABLK}}=\frac{\frac{1}{9}s}{\frac{1}{6}s}=\frac{2}{3}.