10471. Точки A
и B
лежат на боковой стороне KL
трапеции KLMN
с основаниями KN
и LM
, а точки C
и D
— на боковой стороне MN
. Известно, что AC\parallel BD\parallel KN
, ML:KN=2:3
и LA:AB:BK=1:3:2
. В каком отношении диагональ KM
трапеции KLMN
делит площадь четырёхугольника ABDC
?
Ответ. 14:15
.
Решение. Пусть диагональ KM
пересекает отрезки AC
и BD
в точках X
и Y
соответственно. Тогда
MX:XY:YK=MC:CD:DN=LA:AB:BK=1:3:2.
По условию \frac{ML}{KN}=\frac{2}{3}
, поэтому \frac{S_{\triangle KMN}}{S_{\triangle KLM}}=\frac{3}{2}
. Обозначим S_{KLMN}=s
. Тогда
S_{\triangle KMN}=\frac{3}{5}s,~S_{\triangle KLM}=\frac{2}{5}s.
Из подобия треугольников XMC
, YMD
и KMN
получаем, что
S_{\triangle XMC}=\left(\frac{MX}{MK}\right)^{2}S_{\triangle KMN}=\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\cdot\frac{3}{5}s=\frac{1}{60}s,
S_{\triangle YMD}=\left(\frac{MY}{MK}\right)^{2}S_{\triangle KMN}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\cdot\frac{3}{5}s=\frac{4}{15}s.
Значит,
S_{XYDC}=S_{\triangle YMD}-S_{\triangle XMC}=\frac{4}{15}s-\frac{1}{60}s=\frac{1}{4}s.
Аналогично
S_{\triangle KBY}=\left(\frac{KY}{KM}\right)^{2}S_{\triangle KLM}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\cdot\frac{2}{5}s=\frac{2}{45}s,
S_{\triangle KAX}=\left(\frac{KX}{KM}\right)^{2}S_{\triangle KLM}=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\cdot\frac{2}{5}s=\frac{5}{18}s.
Значит,
S_{XYBA}=S_{\triangle KAX}-S_{\triangle KBY}=\frac{5}{18}s-\frac{2}{45}s=\frac{7}{30}s.
Следовательно,
\frac{S_{XYDC}}{S_{XYBA}}=\frac{\frac{1}{4}s}{\frac{7}{30}s}=\frac{14}{15}.