10476. Точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, в котором AC\gt BC
. Точка B_{1}
симметрична точке B
относительно прямой OC
.
а) Докажите, что точки A
, B
, O
и B_{1}
лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABOB_{1}
, если AB=10
, AC=8
, BC=6
.
Ответ. 12.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, поэтому луч CO
— биссектриса угла ACB
. Значит, точка B_{1}
, симметричная точке B
относительно прямой CO
, лежит на луче CA
, а так как CB_{1}=CB\lt AC
, то B_{1}
лежит между точками A
и C
, причём CB_{1}=CB
.
Треугольники OB_{1}C
и OBC
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle OB_{1}C=\angle OBC=\angle OBA.
Значит,
\angle AB_{1}O=180^{\circ}-\angle OB_{1}C=180^{\circ}-\angle OBA.
Следовательно, четырёхугольник ABOB_{1}
вписанный, т. е. точки A
, B
, O
и B_{1}
лежат на одной окружности.
б) Поскольку AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}
, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
. Полупериметр p
треугольника ABC
равен 12, поэтому
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{24}{12}=2.
Тогда
S_{\triangle B_{1}OC}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot r=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=6,
Следовательно,
S_{AOBB_{1}}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BOC}-S_{\triangle B_{1}OC}=24-6-6=12.