1048. Докажите равенство треугольников по трём медианам.
Указание. Примените признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей.
Решение. Пусть AM=A_{1}M_{1}
, BN=B_{1}N_{1}
, CK=C_{1}K_{1}
— медианы треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, а O
и O_{1}
— их соответствующие точки пересечения. Тогда
AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}A_{1}M_{1}=A_{1}O_{1},
CO=\frac{2}{3}CK=\frac{2}{3}C_{1}K_{1}=C_{1}O_{1},
ON=\frac{1}{3}BN=\frac{1}{3}B_{1}N_{1}=O_{1}N_{1}.
Треугольники AOC
и A_{1}O_{1}C_{1}
равны по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей. Поэтому AC=A_{1}C_{1}
.
Аналогично доказывается равенство других сторон.