10483. Внутри параллелограмма ABCD
отмечена точка K
. Точка M
— середина BC
, точка P
— середина KM
. Докажите, что если \angle APB=\angle CPD=90^{\circ}
, то AK=DK
.
Решение. Первый способ. На продолжениях отрезков BP
и CP
за точку P
отложим отрезки PB_{0}
и PC_{0}
, равные соответственно BP
и CP
(рис. 1). Тогда BCB_{0}C_{0}
— параллелограмм с центром P
, а точка K
— середина его стороны B_{0}C_{0}
. Кроме того, B_{0}C_{0}=BC=AD
и B_{0}C_{0}\parallel AD
, а потому AC_{0}B_{0}D
— также параллелограмм. Достаточно доказать, что AC_{0}B_{0}D
— прямоугольник, тогда утверждение задачи будет следовать из равенства прямоугольных треугольников AC_{0}K
и DB_{0}K
.
Заметим, что в треугольнике ABB_{0}
отрезок AP
является медианой и высотой. Это означает, что треугольник равнобедренный и AB_{0}=AB
. Аналогично, рассматривая треугольник DCC_{0}
, получаем DC_{0}=DC
. Но AB=DC
, так как это противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, AB_{0}=DC_{0}
. Получается, что в параллелограмме AC_{0}B_{0}D
диагонали равны между собой. Тогда это прямоугольник, откуда следует утверждение задачи.
Второй способ. Отметим середины E
и F
отрезков AB
и CD
и середины Q
и S
отрезков EF
и AD
(рис. 2). Заметим, что PE=\frac{1}{2}AB
и PF=\frac{1}{2}DC
из свойства медиан, проведённых к гипотенузам в прямоугольных треугольниках APB
и CPD
. Но так как AB=DC
, получаем, что PE=PF
. Отсюда следует, что треугольник EPF
равнобедренный, и его медиана PQ
перпендикулярна EF
, а значит, и AD
.
С другой стороны, Q
является серединой MS
, так как средние линии параллелограмма делят его на четыре равные части. Получаем, что отрезок PQ
— средняя линия треугольника MKS
, параллельная стороне KS
. Тогда KS
тоже перпендикулярен AD
. Это означает, что в треугольнике AKD
совпала медиана и высота, т. е. он равнобедренный, откуда и следует требуемое.
Примечание. Установить, что PQ\perp EF
, можно и другим образом: из данных в условии прямых углов следует, что точка P
лежит на окружностях с диаметрами AB
и CD
. Центрами этих окружностей являются точки E
и F
, а радиусы окружностей равны. Поэтому отрезок, соединяющий их точки пересечения (одна из которых и есть P
), перпендикулярен отрезку EF
и делит его пополам.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2018, LXXXI, 8 класс