10485. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD
выбирается произвольная точка P
, отличная от A
и D
. Описанные окружности треугольников ABP
и CDP
вторично пересекаются в точке Q
. Докажите, что прямая PQ
проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P
.
Решение. Обозначим через E
точку пересечения прямых AB
и CD
. Рассмотрим случай, в котором точка E
лежит на луче CD
за точкой D
. Четырёхугольники CQPD
и BQPA
вписанные, значит, \angle CQP=\angle EDP
, а \angle PQB=\angle PAE
. Сумма углов треугольника EDA
равна
180^{\circ}=\angle DEA+\angle EDP+\angle PAE=
=\angle DEA+\angle CQP+\angle PQB=\angle CEB+\angle CQB.
Следовательно, четырёхугольник CQBE
вписан в окружность \omega
— описанную окружность треугольника CBE
.
Обозначим через F
вторую точку пересечения прямой PQ
с окружностью \omega
. Четырёхугольник QCEF
вписанный, значит,
180^{\circ}=\angle FED+\angle CQP=\angle FED+\angle EDP.
Отсюда следует, что прямые PD
и FE
параллельны.
Пусть l
— прямая, проходящая через точку E
параллельно AD
. Тогда прямая PQ
независимо от выбора точки P
проходит через вторую точку пересечения окружности \omega
и прямой l
.
Случай, когда точка E
лежит с другой стороны, разбирается аналогично.
Примечание. То же решение можно изложить с использованием ориентированных углов. Тогда оно без изменений будет проходить для любого расположении точек.