10497. Пусть O
— центр окружности \Omega
, описанной около остроугольного треугольника ABC
. На дуге AC
этой окружности, не содержащей точку B
, взята точка P
. На отрезке BC
выбрана точка X
так, что PX\perp AC
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника BXP
, лежит на окружности, описанной около треугольника ABO
.
Решение. Пусть G
— центр окружности \gamma
, описанной около треугольника BXP
. Тогда
\angle BGP=\smile BXP=360^{\circ}-2\angle BXP=2(180^{\circ}-\angle BXP)=2\angle CXP
(так как угол CXP
острый). Поскольку GB=GP
и OB=OP
, треугольники GOB
и GOP
равны по трём сторонам, поэтому
\angle BGO=\angle OGP=\frac{1}{2}\angle BGP=\angle CXP.
Наконец, из равнобедренного треугольника AOB
получаем, что
\angle BAO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB=90^{\circ}-\angle ACB=\angle CXP.
Итак,
\angle BGO=\angle CXP=\angle BAO,
что и означает, что точки A
, G
, B
и O
лежат на одной окружности.
Примечание. Завершить решение можно по-другому, доказав, что точка G
лежит на прямой AP
(поскольку \angle BPG=\angle BCA=\angle BPA
), и воспользовавшись равенством
\angle OGP=\angle CXP=\angle ABO.