10500. В равностороннем треугольнике ABC
со стороной a
точки M
и P
лежат на стороне AC
(M
между A
и P
), а точки N
и Q
— на сторонах AB
и BC
соответственно. Известно, что MA+AN=PC+CQ=a
. Найдите \angle NOQ
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. По условию задачи AN=a-AM
, поэтому AN=MC
. Аналогично AP=QC
. Из этих равенств и равенства \angle A=\angle C=60^{\circ}
получаем, что треугольники ANP
и CMQ
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle ANP=\angle QMC,~\angle APN=\angle MQC.
По теореме о сумме углов треугольника
\angle ANP+\angle APN=120^{\circ},
поэтому
\angle OMP+\angle OPM=120^{\circ}.
Следовательно, \angle NOQ=\angle MOP=60^{\circ}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2016-2017, XLIII, школьный этап, 9 класс