10501. На плоскости дан квадрат ABCD
со стороной 1 и точка X
, причём точки B
и X
лежат по одну сторону от прямой AC
, и точка X
— внутри треугольника AXC
. Известно, что XA=\sqrt{5}
, XC=\sqrt{7}
. Чему равно XB
?
Ответ. \sqrt{6-\sqrt{10}}
.
Решение. Опустим из точки X
перпендикуляры XM
и XN
на прямые CB
и AB
соответственно. Четырёхугольник BMXN
— прямоугольник. Обозначим BM=NX=a
, BN=MX=b
. По теореме Пифагора
AN^{2}+NX^{2}=AX^{2},~CM^{2}+XM^{2}=CX^{2}.
Получаем систему
\syst{(1+b)^{2}+a^{2}=5\\(1+a)^{2}+b^{2}=7,\\}
из которой находим, что a=\sqrt{\frac{5}{2}}
и b=\sqrt{\frac{5}{2}}-1
. Следовательно,
XB=\sqrt{BM^{2}+BN^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6-\sqrt{10}}.