10502. Из точки P
дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
опущены перпендикуляры PX
, PY
и PZ
на BC
, CA
и AB
соответственно. Докажите, что
\frac{BC}{PA}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}.
Решение. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
. Обозначим
\angle ABP=\alpha,~\angle BCP=\angle BAP=\beta,~\angle CBP=\angle CAP=\gamma.
Тогда \angle ACP=180^{\circ}-\alpha
.
Из прямоугольного треугольника BPX
получаем, что PX=BP\sin\gamma
, а по теореме синусов BP=2R\sin\beta
. Значит,
PX=BP\sin\gamma=2R\sin\gamma\sin\beta.
Аналогично
PY=PC\sin\alpha=2R\sin\gamma\sin\alpha,~PZ=PB\sin\alpha=2R\sin\beta\sin\alpha.
Кроме того,
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin(\beta+\gamma),~AC=2R\sin(\alpha-\gamma),
AB=2R\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)=2R\sin(\alpha+\beta).
Тогда
\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}=\frac{2R\sin(\alpha-\gamma)}{2R\sin\gamma\sin\alpha}+\frac{2R\sin(\alpha+\beta)}{2R\sin\beta\sin\alpha}=
=\frac{\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\gamma}{\sin\gamma\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\sin\beta\sin\alpha}=
=(\ctg\gamma-\ctg\alpha)+(\ctg\beta+\ctg\alpha)=\ctg\gamma+\ctg\beta
и
\frac{BC}{PX}=\frac{2R\sin(\beta+\gamma)}{2R\sin\gamma\sin\beta}=\frac{\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma}{\sin\gamma\sin\beta}=\ctg\gamma+\ctg\beta.
Следовательно,
\frac{BC}{PA}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.10, с. 106
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.11, с. 103