10505. Диагонали описанной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
пересекаются в точке O
. Радиусы вписанных окружностей треугольников AOD
, AOB
, BOC
и COD
равны r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
и r_{4}
соответственно. Докажите, что
\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{3}}=\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{4}}.
Решение. Обозначим
AB=a,~BC=b,~CD=c,~AD=d,~OA=x,~OD=y,~S_{\triangle AOD}=S,~\frac{b}{d}=k.
Треугольник COB
подобен треугольнику AOD
с коэффициентом k
, поэтому
S_{\triangle COB}=k^{2},~OB=ky,~OC=kx,~S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=kS.
Тогда
r_{1}=\frac{2S}{x+y+d},~r_{3}=\frac{2k^{2}S}{kx+ky+b}
r_{2}=\frac{2kS}{ky+x+a},~r_{4}=\frac{2kS}{kx+y+c}.
Значит,
2\left(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{3}}\right)=\frac{x+y+d}{S}+\frac{kx+ky+b}{k^{2}S}=
=\frac{x+y}{S}+\frac{x+y}{kS}+\frac{d}{S}+\frac{b}{k^{2}S}=\frac{x+y}{S}+\frac{x+y}{kS}+\frac{dk+\frac{b}{k}}{kS}=
=\frac{x+y}{S}+\frac{x+y}{kS}+\frac{b+d}{kS},
2\left(\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{4}}\right)=\frac{c+kx+y}{kS}+\frac{a+ky+x}{kS}=
=\frac{x+y}{S}+\frac{x+y}{kS}+\frac{a+c}{kS}=\frac{x+y}{S}+\frac{x+y}{kS}+\frac{b+d}{kS}
(dk=b
, \frac{b}{k}=d
из подобия, а b+d=a+c
, так как трапеция описанная). Следовательно
\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{3}}=\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{4}}.