10517. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
. Пусть M
— середина отрезка AD
, а N
— произвольная точка отрезка BC
. Пусть K
— пересечение отрезков CM
и DN
, а L
— пересечение отрезков MN
и AC
. Найдите все возможные значения площади треугольника ABL
, если известно, что AD:BC=4:5
, а площадь треугольника DMK
равна 2.
Ответ. 5.
Решение. Пусть высота треугольника DMK
, проведённая из вершины K
, равна h_{1}
, высота трапеции равна h
, площадь трапеции равна S
, а AD=a
. Тогда
S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{a+\frac{5}{4}a}{2}\cdot h=\frac{9}{8}ah.
Обозначим
\frac{AL}{AC}=\frac{AM}{AM+CN}=\frac{h_{1}}{h}=k.
Тогда h_{1}=kh
,
2=S_{\triangle DMK}=\frac{1}{2}DM\cdot h_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot kh=\frac{1}{4}kah,
откуда kah=8
. Следовательно,
S_{\triangle ABL}=\frac{AL}{AC}S_{\triangle ABC}=k\cdot\frac{5}{9}S=k\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{9}{8}ah=\frac{5}{8}kah=\frac{5}{8}\cdot8=5.
Примечание. Заметим, что
\frac{ML}{LN}=\frac{AL}{LC}=\frac{AM}{CN}=\frac{DM}{CN}=\frac{MK}{KC},
значит, KL\parallel CN
. Следовательно,
S_{\triangle AML}=S_{\triangle DML}=S_{\triangle DMK}=2,
но в приведённом решении это не понадобилось.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2018, № 5