10521. Через вершины K
и L
треугольника KLM
проведена окружность, касающаяся прямых KM
и LM
. На этой окружности выбрана точка S
(внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 от прямой KL
. Найдите расстояние от точки S
до прямой LM
, если известно, что \angle KLS=\angle LMS
и что \angle SLM=45^{\circ}
.
Ответ. \sqrt{\frac{5}{2}}
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что треугольник KLM
равнобедренный, KM=LM
. Пусть P
и Q
— проекции точки S
на прямые KL
и ML
, SP=1
. Обозначим \angle KLS=\angle LMS=\alpha
.
Применив теорему синусов к треугольнику KLM
, получим, что
\frac{KL}{ML}=\frac{\sin(180^{\circ}-2(45^{\circ}+\alpha))}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}=\frac{\sin2(45^{\circ}+\alpha)}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}=
=\frac{2\sin(45^{\circ}+\alpha)\cos(45^{\circ}+\alpha)}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}=2\cos(45^{\circ}+\alpha).
С другой стороны, треугольники MSL
и LSK
подобны по двум углам, поэтому
\frac{KL}{ML}=\frac{LS}{MS}=\frac{\sin\alpha}{\sin45^{\circ}}=\sqrt{2}\sin\alpha.
Значит,
2\cos(45^{\circ}+\alpha)=\sqrt{2}\sin\alpha~\Leftrightarrow~2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right)=\sqrt{2}\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos\alpha-\sin\alpha=\sin\alpha~\Leftrightarrow~\cos\alpha=2\sin\alpha~\Leftrightarrow~\ctg\alpha=2.
Тогда
LP=SP\ctg\alpha=2,~LS=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
следовательно,
SQ=LS\sin45^{\circ}=\sqrt{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2017, № 5