10522. В трапеции, описанной около окружности радиуса 6, разность боковых сторон равна 8, а средняя линия равна 16. Найдите стороны трапеции.
Ответ. 8; 12; 12; 24.
Решение. Пусть AD
и BC
— основания данной трапеции ABCD
, AB\lt CD
— боковые стороны, а MN
— средняя линия. Трапеция ABCD
описана около окружности, поэтому
AB+CD=AD+BC=2MN=32.
Из системы
\syst{CD-AB=8\\CD+AB=32\\}
находим, что AB=12
и CD=20
.
Пусть BH
— высота трапеции. Тогда отрезок BH
равен диаметру вписанной окружности трапеции, т. е. 12. Следовательно, точка H
совпадает с вершиной A
, и трапеция ABCD
прямоугольная с прямыми углами при вершинах A
и B
.
Пусть CP
— также высота трапеции. Из прямоугольного треугольника CPD
находим, что
DP=\sqrt{CD^{2}-CP^{2}}=\sqrt{CD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16,
а так как
AD-BC=AD-AP=DP=16,
то из системы
\syst{AD-BC=16\\AD+BC=32\\}
находим, что AD=24
и BC=8
.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2017, тренировочный вариант, № 5; филиал, вариант Ф41, задача 6