10523. У равносторонних треугольников ABC
и CDE
вершина C
лежит на отрезке AE
, вершины B
и D
по одну сторону от этого отрезка. Описанные около треугольников окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
повторно пересекаются в точке F
. Прямая O_{1}O_{2}
пересекает AD
в точке K
. Докажите, что AK=BF
.
Решение. Будем доказывать равенство треугольников ACK
и BCF
.
Прежде всего, заметим, что треугольники ACD
и BCE
равны по двум сторонам и углу между ними, поскольку AC=BC
, CD=CE
и \angle ACD=\angle BCE=120^{\circ}
(или так: при повороте вокруг точки C
на угол 120^{\circ}
по часовой стрелке первый из этих треугольников переходит во второй). Кроме того, так как \angle BFC=120^{\circ}
и \angle CFE=60^{\circ}
, точка F
лежит на отрезке BE
. Наконец, треугольник O_{1}CO_{2}
подобен треугольнику ACD
(\angle O_{1}CO_{2}=\angle ACD=120^{\circ}
и \frac{CO_{1}}{CO_{2}}=\frac{AC}{CD}
), следовательно,
\angle CO_{1}K=\angle CO_{1}O_{2}=\angle CAD=\angle CAK=\angle CBF.
Отрезок CK
виден под одним и тем же углом из точек O_{1}
и A
, лежащих по одну сторону от прямой CK
, поэтому точки A
, O_{1}
, K
и C
лежат на одной окружности. Значит,
\angle ACK=180^{\circ}-\angle AO_{1}K=180^{\circ}-(120^{\circ}+\angle CO_{1}K)=
=60^{\circ}-\angle CO_{1}K=60^{\circ}-\angle CBF=\angle BCF
(сумма углов треугольника BCF
равна 180^{\circ}
).
Таким образом, треугольники ACK
и BCF
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AK=BF
.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, заочный тур, № 5, 8-9 классы