10525. Пусть
AL
— биссектриса треугольника
ABC
, точка
D
— её середина,
E
— проекция
D
на
AB
. Известно, что
AC=3AE
. Докажите, что треугольник
CEL
равнобедренный.
Решение. Пусть
F
— проекция точки
L
на
AB
,
G
— точка, симметричная
E
относительно
F
. Тогда по теореме Фалеса
AE=EF=FG
и
AG=3AE=AC
. Поскольку
AL
— биссектриса угла
A
, а
FL
— серединный перпендикуляр к отрезку
EG
, получаем, что
CL=LG=LE
. Что и требовалось доказать.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, заочный тур, № 3, 8 класс