10526. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. По дуге AD
, не содержащей точек B
и C
, движется точка P
. Фиксированная прямая l
, перпендикулярная прямой BC
, пересекает лучи BP
и CP
в точках B_{0}
и C_{0}
соответственно. Докажите, что касательная, проведённая к описанной окружности треугольника PB_{0}C_{0}
в точке P
, проходит через фиксированную точку.
Решение. Пусть Q
— вторая точка пересечения касательной с описанной окружностью четырёхугольника. Из теоремы об угле между касательной и хордой и теоремы о вписанных углах следует, что
\angle BPQ=\angle B_{0}C_{0}P=90^{\circ}-\angle BCP=90^{\circ}-\angle BQP.
Следовательно, \angle PBQ=90^{\circ}
, т. е. PQ
— диаметр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
. Таким образом, все касательные проходят через центр окружности.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, заочный тур, № 4, 8 класс