10527. На окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
, отмечены точки M
и N
— середины дуг AB
и CD
соответственно. Докажите, что MN
делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников ABC
и ADC
.
Решение. Очевидно, что центры I
и J
вписанных окружностей треугольников ABC
и ADC
лежат на отрезках CM
и AN
соответственно. Обозначим
\angle ANM=\alpha,~\angle NMC=\angle CAN=\angle NAD=\beta.
По теореме о трилистнике и по теореме синусов
IM=AM=2R\sin\angle ANM=2R\sin\alpha
(см. задачу 788).
Пусть P
и Q
— проекции точек соответственно I
и J
на хорду MN
. Тогда
IP=IM\sin\angle NMC=2R\sin\alpha\sin\beta.
Аналогично получаем, что
JQ=NJ\sin\alpha=ND\sin\alpha=2R\sin\beta\sin\alpha.
Пусть K
— точка пересечения отрезка IJ
с хордой MN
. Точки I
и J
лежат по разные стороны от прямой MN
, а прямоугольные треугольники IPK
и JQK
равны по катету (IP=JQ
) и противолежащему острому углу. Следовательно, KI=KJ
.