10531. В прямоугольном треугольнике ABC
( \angle C=90^{\circ}
) вписанная окружность касается катета BC
в точке K
. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой AK
в два раза больше, чем расстояние от вершины C
до этой прямой.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности, P
и Q
— проекции точек I
и C
соответственно на прямую AK
. Поскольку
\angle IKC=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle ICK=45^{\circ},
треугольник IKC
равнобедренный, т. е. IK=KC
. Кроме того, \angle IKP=\angle KCQ
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Значит, прямоугольные треугольники IKP
и KCQ
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому KP=CQ
. Точка P
— середина хорды, высекаемой в окружности прямой AK
(см. задачу 1676), следовательно, эта хорда вдвое больше отрезка CK
.