10532. Около прямоугольника ABCD
описана окружность. На её меньшей дуге BC
взята произвольная точка E
. К окружности проведена касательная в точке B
, пересекающая прямую CE
в точке G
. Отрезки AE
и BD
пересекаются в точке K
. Докажите, что прямые GK
и AD
перпендикулярны.
Решение. Диагонали прямоугольника являются диаметрами окружности, поэтому BD\perp BG
и \angle KEG=\angle AEC=90^{\circ}
. Из точек B
и E
отрезок CK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром GK
.
Обозначим
\angle BGK=\angle BEK=\angle BEA=\angle BCA=\angle DBC=\alpha.
Пусть P
— точка пересечения прямых GK
и BC
. Тогда
\angle BPG=180^{\circ}-\angle PBG-\angle BGK=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-\alpha=90^{\circ},
а так как AD\parallel BC
, то GK\perp AD
.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, финальный тур, первый день, № 2, 8 класс