10544. В окружности \omega
, описанной около треугольника ABC
, хорда KL
проходит через середину M
отрезка AB
и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки L
и M
и пересекает отрезок CK
в точках P
и Q
(точка Q
лежит на отрезке KP
). Пусть LQ
пересекает описанную окружность треугольника KMQ
в точке R
. Докажите, что четырёхугольник APBR
вписанный.
Решение. Из теоремы о вписанных углах следует, что
\angle PML=\angle PQL=\angle KQR=\angle KMR.
Кроме того,
\angle PLM=180^{\circ}-\angle MQP=\angle KQM=\angle KRM.
Следовательно, треугольники PLM
и KRM
подобны, значит,
\frac{PM}{KM}=\frac{LM}{RM}~\Rightarrow~PM\cdot RM=LM\cdot KM=AM\cdot MB=AM^{2}.
Пусть P'
— точка, симметричная точке P
относительно прямой KL
. Тогда прямые AB
и PP'
параллельны, так как обе они перпендикулярны диаметру KL
окружности \omega
. Точки A
, B
, P
и P'
лежат на одной окружности (обозначим её \omega_{1}
), так как являются вершинами равнобедренной трапеции APP'B
.
Поскольку \angle KMR=\angle LMP=\angle LMP'
, точки P'
, M
и R
лежат на одной прямой, а так как
P'M\cdot RM=PM\cdot RM=AM\cdot MB=AM^{2},
то точка R
также лежит на окружности \omega_{1}
(см. задачу 114).
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2018, финальный тур, второй день, № 6, 10 класс