10546. Докажите, что в равнобедренном треугольнике с углом 45^{\circ}
при вершине основание больше половины боковой стороны.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
, в котором AB=AC=b
, BC=a
и \angle BAC=45^{\circ}
. Опустим перпендикуляр BH
из точки B
на прямую AC
. Тогда треугольник AHB
прямоугольный и равнобедренный.
Обозначим AH=BH=c
. Применив неравенство треугольника к треугольнику AHB
, получим, что
2c=AH+BH\gt AB=b.
Значит, c\gt\frac{1}{2}b
, а так как в прямоугольном треугольнике BHC
гипотенуза BC
больше катета BH
, то
a=BC\gt BH=c\gt\frac{1}{2}b.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Если применить теорему Пифагора, получим, что
BC\gt BH=\frac{AB\sqrt{2}}{2}\gt\frac{1}{2}AB.