10548. Точка расположена внутри параллелограмма. Докажите, что сумма расстояний от неё до вершин параллелограмма меньше его периметра.
Решение. Пусть точка M
расположена внутри параллелограмма ABCD
. Проведём через неё прямые, параллельные его сторонам. Пусть прямая, параллельная стороне AB
, пересекает стороны AD
и BC
в точках X
и Y
соответственно, а прямая, параллельная стороне BC
, пересекает стороны AB
и CD
в точках Z
и T
соответственно. Тогда
MA\lt AX+MX=AX+AZ.
Аналогично
MB\lt BY+BZ,~MC\lt CY+CT,~MD\lt DX+DT.
Сложив эти четыре неравенства, получим, что
MA+MB+MC+MD\lt
\lt(AX+AZ)+(BY+BZ)+(CY+CT)+(DX+DT)=
=(AZ+BZ)+(AX+DX)+(CT+DT)+(CY+BY)=
=AB+AD+CD+BC.
Что и требовалось доказать.