10549. Точка расположена внутри выпуклого четырёхугольника. Верно ли, что сумма расстояний от неё до вершин четырёхугольника меньше его периметра?
Ответ. Нет.
Решение. Рассмотрим окружность с центром A
радиуса 51. Пусть точки B
, C
и D
расположены на этой окружности, CD=CB=1
, а точка M
лежит на диагонали AC
четырёхугольника ABCD
, причём AM=1
. Применив неравенство треугольника к треугольнику AMB
, получим, что
MB\gt AB-MA=51-1=50.
Аналогично MD\gt50
. Значит,
MA+MB+MC+MD=(MB+MD)+(MA+MC)\gt50+50+1+50=151.
В то же время,
AB+BC+CD+AD=51+1+1+51=104\lt151.
Следовательно, в выпуклом четырёхугольнике ABCD
сумма расстояний от точки M
, расположенной внутри него, до вершин больше периметра.