10550. Пусть биссектриса внутреннего угла при вершине A
треугольника ABC
пересекает сторону BC
в точке P
, а биссектриса внешнего угла при той же вершине пересекает прямую BC
в точке Q
. Известно, что AQ=AP
. Найдите разность внутренних углов треугольника ABC
при двух других вершинах.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому треугольник PAQ
прямоугольный и равнобедренный. Значит, \angle APQ=45^{\circ}
.
Пусть внутренние углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABP+\angle BAP=\angle APQ,~\mbox{или}~\beta+\frac{\alpha}{2}=45^{\circ}.
После умножения на 2 получаем, что 2\beta+\alpha=90^{\circ}
, а так как \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
, то вычитая из этого равенства предыдущее, находим, что \gamma-\beta=90^{\circ}
.