10551. Квадрат ABCD
и равносторонние треугольники CMD
и BNC
расположены так, что точка M
лежит внутри квадрата, а точка N
— вне. Докажите, что точки A
, M
и N
лежат на одной прямой.
Решение. Заметим, что
\angle ADM=\angle BCM=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Из равнобедренного треугольника AMD
находим, что
\angle AMD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}.
Кроме того,
\angle MCN=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}~\mbox{и}~CN=CM,
т. е. треугольник MCN
прямоугольный и равнобедренный, поэтому \angle CMN=45^{\circ}
. Значит,
\angle AMD+\angle DMC+\angle CMN=75^{\circ}+60^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, точки A
, M
и N
лежат на одной прямой.