10552. На сторонах AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
отмечены точки M
и N
соответственно, причём BM=MN=CN
. Найдите угол между прямыми BN
и CM
, если известно, что \angle BAC=\alpha\lt90^{\circ}
.
Ответ. 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть прямые BN
и CM
пересекаются в точке O
. Обозначим
\angle BNM=\angle MBN=\beta,~\angle CMN=\angle MCN=\gamma.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BOM=\angle BNM+\angle CMN=\beta+\gamma,
\angle BOM=\angle CBN+\angle BCM.
В то же время, из треугольника ABC
находим, что
\angle CBN+\angle BCM=180^{\circ}-\alpha-(\beta+\gamma).
Значит,
\beta+\gamma=180^{\circ}-\alpha-(\beta+\gamma).
Следовательно,
\angle BOM=\beta+\gamma=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.