10553. Дан треугольник ABC
с углом \alpha
при вершине A
. На продолжении стороны BC
за точку B
отложен отрезок BP=AB
. На продолжении стороны BC
за точку C
отложен отрезок CQ=AC
. Найдите угол PAQ
.
Ответ. 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда \beta+\gamma=180^{\circ}-\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAP=\frac{\beta}{2},~\angle CAQ=\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
\angle PAQ=\angle BAP+\angle BAC+\angle CAQ=\frac{\beta}{2}+\alpha+\frac{\gamma}{2}=
=\left(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)+\alpha=\frac{1}{2}(\beta+\gamma)+\alpha=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)+\alpha=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.