10558. В трапеции ABCD
, где BC\parallel AD
, а диагонали пересекаются в точке O
, на отрезке BC
выбрана такая точка K
, что BK:CK=2:3
, а на отрезке AD
выбрана такая точка M
, что AM:MD=3:2
. Найдите площадь треугольника COD
, если AD=7
, BC=3
, KM=6
, а \cos\angle CAD=\frac{1}{5}
.
Ответ. \frac{126\sqrt{6}}{125}
.
Решение. Пусть отрезки AC
и BD
пересекают отрезок KM
в точках O_{1}
и O_{2}
соответственно. Тогда из подобия получаем, что
\frac{KO_{1}}{O_{1}M}=\frac{CK}{AM}=\frac{\frac{3}{5}\cdot3}{\frac{3}{5}\cdot7}=\frac{3}{7},
\frac{KO_{2}}{O_{2}M}=\frac{BK}{DM}=\frac{\frac{2}{5}\cdot3}{\frac{2}{5}\cdot7}=\frac{3}{7}=\frac{KO_{1}}{O_{1}M}.
Следовательно, точки O_{1}
и O_{2}
совпадают, а значит, совпадают с точкой O
, т. е. отрезок KM
проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
Из подобия находим, что
MO=\frac{AM}{AM+CK}\cdot MK=\frac{7}{7+3}\cdot6=\frac{21}{5}=AM,
т. е. треугольник AMO
равнобедренный. Пусть \angle CAD=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5},~\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4\sqrt{6}}{25},
S_{\triangle AMO}=\frac{1}{2}AM\cdot MO\sin(180^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{21}{5}\right)^{2}\cdot\sin2\alpha=\frac{1}{2}\left(\frac{21}{5}\right)^{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{25}.
Из равенства
S_{\triangle AMO}=\frac{AO}{AC}\cdot\frac{AM}{AD}S_{\triangle ACD}
находим, что
S_{\triangle ACD}=\frac{AC}{AO}\cdot\frac{AD}{AM}S_{\triangle AMO}=\frac{10}{7}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{21}{5}\right)^{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{25}=\frac{84\sqrt{6}}{25}.
Следовательно,
S_{\triangle COD}=\frac{OC}{AC}\cdot S_{\triangle ACD}=\frac{3}{10}\cdot\frac{84\sqrt{6}}{25}=\frac{126\sqrt{6}}{125}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2013, вариант 1, № 4
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 29