1056. В треугольнике ABC
известны углы: \angle A=45^{\circ}
, \angle B=15^{\circ}
. На продолжении стороны AC
за точку C
взята точка M
, причём CM=2AC
. Найдите \angle AMB
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Указание. Отложите на отрезке CB
отрезок CK
, равный отрезку AC
.
Решение. Пусть P
— середина отрезка CM
. Тогда AC=CP=PM
. Отметим на стороне CB
точку K
так, чтобы CK=CA
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle PCK=\angle CAB+\angle ABC=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ}.
Поэтому треугольник CPK
— равносторонний. Значит, PC=PK=PM
. Следовательно, треугольник CKM
— прямоугольный и
\angle AMK=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Поскольку
\angle CAK=\angle CKA=30^{\circ},
то треугольник AKM
— равнобедренный, а так как
\angle KAB=\angle KBA=15^{\circ},
то треугольник AKB
— также равнобедренный. Следовательно, MK=AK=KB
и треугольник MKB
— равнобедренный.
Поскольку
\angle MKB=\angle MKC=90^{\circ},
то \angle KMB=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle AMB=\angle AMK+\angle KMB=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}.
