10561. Прямоугольник, отношение сторон которого равно 3, имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников, вершины которых лежат на сторонах данного ромба, а стороны параллельны диагоналям ромба. Найдите острый угол ромба.
Ответ. 2\arctg\frac{1}{3}=\arctg\frac{3}{4}
.
Решение. Пусть вершины прямоугольника KLMN
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и DA
ромба ABCD
, \angle BAD=2\alpha\lt90^{\circ}
, AB=a
, AK=x
.
Из равнобедренных треугольников AKN
и BKL
получаем, что
KN=2x\sin\alpha,~KL=2(a-x)\cos\alpha.
Тогда
S_{KLMN}=KN\cdot KL=2x\sin\alpha\cdot2(a-x)\cos\alpha=x(x-a)\cdot2\sin2\alpha\leqslant
\leqslant\left(\frac{x+(x-a)}{2}\right)^{2}\cdot\sin2\alpha=\frac{a^{2}}{2}\sin2\alpha,
причём равенство достигается при x=a-x
, т. е. при x=\frac{a}{2}
. В этом случае KN=a\sin\alpha
и KL=a\cos\alpha
. При этом \tg\alpha\lt1
, так как \alpha\lt45^{\circ}
. Значит,
\frac{KN}{KL}=\tg\alpha=\frac{1}{3},~\alpha=\arctg\frac{1}{3}.
Следовательно,
\angle BAD=2\alpha=2\arctg\frac{1}{3}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2014, вариант 2, № 3
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 32