10562. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
перпендикулярны сторонам DC
и AB
соответственно. Из точки B
проведён перпендикуляр на сторону AD
, пересекающий AC
в точке O
. Найдите AO
, если AB=4
, OC=6
.
Ответ. 2.
Решение. Обозначим AO=x
. Пусть BH
— высота прямоугольного треугольника ABD
. Тогда \angle ABH=\angle ADB
. Из точек B
и C
сторона AD
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Вписанные в эту окружность углы ACB
и ADB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACB=\angle ADB=\angle ABH=\angle ABO.
Значит, треугольники ABO
и ACB
подобны по двум углам (угол при вершине A
— общий). Следовательно, \frac{AO}{AB}=\frac{AB}{AC}
, или
\frac{x}{4}=\frac{4}{x+6}~\Leftrightarrow~x^{2}+6x-16=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный корень x=2
этого уравнения.