10563. Из вершины L
выпуклого четырёхугольника KLMN
проведён перпендикуляр на сторону KN
, пересекающий диагональ KM
в точке O
так, что KO=3
. Найдите OM
, если KL=6
, NL\perp KL
, KM\perp MN
.
Ответ. 9.
Решение. Обозначим OM=x
. Пусть LH
— высота прямоугольного треугольника KLN
. Тогда \angle KLH=\angle KNL
. Из точек L
и M
сторона KN
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN
. Вписанные в эту окружность углы KML
и KNL
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle KML=\angle KNL=\angle KLH=\angle KLO.
Значит, треугольники KLO
и KML
подобны по двум углам (угол при вершине K
— общий). Следовательно, \frac{KL}{KM}=\frac{KO}{KL}
, или
\frac{6}{x+3}=\frac{3}{6}~\Leftrightarrow~x=9.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2015, вариант 2, № 3
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 35