10564. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Найдите длину стороны AC
, если 3\overrightarrow{AA_{1}}+4\overrightarrow{BB_{1}}+5\overrightarrow{CC_{1}}=(2;1)
.
Ответ. \frac{2\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Положим
\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{a},~\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{b},~\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{c}.
Тогда
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{0},
(2;1)=3\overrightarrow{AA_{1}}+4\overrightarrow{BB_{1}}+5\overrightarrow{CC_{1}}=
=3(2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})+4(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+5(2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=
=11\overrightarrow{a}+14\overrightarrow{b}+11\overrightarrow{c}=
=11(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+3\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}+3\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{b}.
Значит,
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{2b}=\frac{2}{3}\cdot(2;1).
Следовательно,
AC=|\overrightarrow{AC}|=\frac{2}{3}\sqrt{2^{2}+1}=\frac{2\sqrt{5}}{3}.