10565. Точки K_{1}
, L_{1}
и M_{1}
— середины сторон соответственно LM
, KM
и KL
треугольника KLM
. Найдите длину стороны KM
, если 5\overrightarrow{MM_{1}}+6\overrightarrow{LL_{1}}+7\overrightarrow{KK_{1}}=(3;2)
.
Ответ. \frac{2\sqrt{13}}{3}
.
Решение. Положим
\overrightarrow{LM}=2\overrightarrow{a},~\overrightarrow{MK}=2\overrightarrow{b},~\overrightarrow{KL}=2\overrightarrow{c}.
Тогда
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{LM}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KL})=\overrightarrow{0},
(3;2)=5\overrightarrow{MM_{1}}+6\overrightarrow{LL_{1}}+7\overrightarrow{KK_{1}}=
=5(2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+6(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+7(2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})=
=19\overrightarrow{a}+16\overrightarrow{b}+19\overrightarrow{c}=
=19(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}-3\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{b}.
Значит,
\overrightarrow{KM}=-\overrightarrow{2b}=-\frac{2}{3}\cdot(3;2).
Следовательно,
KM=|\overrightarrow{KM}|=\frac{2}{3}\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\frac{2\sqrt{13}}{3}.