10567. Четырёхугольник KLMN
вписан в окружность. Прямые, касающиеся этой окружности в точках K
и M
, пересекаются на прямой LN
. Найдите MN
, если KN\lt KL=2
и KN\cdot LM=\frac{9}{2}
.
Ответ. \frac{9}{4}
.
Решение. Пусть указанные касательные пересекаются в точке A
, лежащей на прямой NL
. Поскольку KN\lt KL
, точка A
лежит на продолжении отрезка LN
за точку N
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle AKN=\angle KLN
, поэтому треугольник AKN
подобен треугольнику ALK
по двум углам (угол при вершине A
— общий). Значит, \frac{AK}{AL}=\frac{KN}{KL}
. Аналогично, из подобия треугольников AMN
и ALM
получаем, что \frac{AM}{AL}=\frac{MN}{ML}
. При этом AK=AM
, поэтому \frac{KN}{KL}=\frac{MN}{ML}
, откуда
MN=\frac{KN\cdot ML}{KL}=\frac{\frac{9}{2}}{2}=\frac{9}{4}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2017, вариант 2, № 4
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 39