1057. Вершины параллелограмма A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежат на сторонах параллелограмма ABCD
(точка A_{1}
лежит на стороне AB
, точка B_{1}
— на стороне BC
и т. д.). Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.
Указание. Примените признаки равенства треугольников.
Решение. Пусть M
— точка пересечения AC
и B_{1}D_{1}
. Достаточно доказать, что M
— середина AC
и B_{1}D_{1}
.
Из равенства треугольников AA_{1}D_{1}
и CC_{1}B_{1}
(по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует равенство отрезков AD_{1}
и CB_{1}
, а из равенства треугольников AMD_{1}
и CMB_{1}
следуют равенства:
AM=MC,~D_{1}M=B_{1}M.
