10571. Окружность \omega
касается сторон AB
и AC
треугольника ABC
. Окружность \Omega
касается стороны AC
и продолжения стороны AB
за точку B
, а также касается \omega
в точке L
, лежащей на стороне BC
. Прямая AL
вторично пересекает \omega
и \Omega
в точках K
и M
соответственно. Оказалось, что KB\parallel CM
. Докажите, что треугольник LCM
равнобедренный
Решение. Первый способ. Точка L
касания окружности лежит на их линии центров, а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то линия центров проходит через точку A
(рис. 1). Значит, KL
и LM
— диаметры окружностей.
Прямые KB
и CM
параллельны, поэтому при гомотетии с центром L
, переводящей окружность \omega
в \Omega
, треугольник BLK
переходит в треугольник CLM
. Отрезок AB
, касающийся окружности \omega
, переходит в параллельный ему отрезок CA'
, касающийся окружности \Omega
в точке A'
, лежащей на прямой KL
, а так как
\angle CA'A=\angle A'AB=\angle A'AC,
то треугольник A'CA
равнобедренный.
Пусть O
— центр окружности \Omega
. Поскольку CA
и CA'
— касательные к окружности \Omega
, то CO
— биссектриса, а значит, и высота, равнобедренного треугольника A'CA
. Следовательно, биссектриса треугольника LCM
является его высотой, т. е. этот треугольник также равнобедренный.
Второй способ. Пусть r
и R
— радиусы окружностей \omega
и \Omega
с центрами O'
и O
соответственно, а X'
и X
точки касания этих окружностей с прямой AC
(рис. 2). Точка L
лежит на биссектрисе угла BAC
, а прямые KB
и CM
параллельны, поэтому
\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}=\frac{KL}{LM}=\frac{2r}{2R}=\frac{r}{R}.
Из подобия прямоугольных треугольников AOX
и AO'X'
получаем, что
\frac{AO'}{r}=\frac{AO'}{O'X'}=\frac{AO}{OX}=\frac{AO}{R},
значит,
\frac{AL}{r}=\frac{AO'+r}{r}=\frac{AO+R}{R}=\frac{AM}{R},
поэтому \frac{AL}{AM}=\frac{r}{R}=\frac{AB}{AC}
. Следовательно, треугольники ABL
и ACM
подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle CML=\angle ALB=\angle CLM,
а значит, CL=CM
.
Третий способ. Рассмотрим гомотетию с центром A
, переводящую окружность \omega
в окружность \Omega
. При этой гомотетии точка K
переходит в L
, а точка L
— в M
. Пусть при этом точка B
переходит в D
(рис. 3). Тогда DM\parallel BL\parallel LC
и DL\parallel BK\parallel CM
, значит, LCMD
— параллелограмм. Его диагонали пересекаются в середине общей середине O
диагоналей CD
и LM
, т. е. в центре окружности \Omega
.
С другой стороны, AO
— биссектриса угла DAC
, т. е. в треугольнике DAC
медиана является биссектрисой, поэтому CD\perp AO
. Тогда параллелограмм LCMD
— ромб. Следовательно, LC=CM
.
Автор: Богданов И. И.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2017-2018, XLIV, заключительный этап, № 2, 9 класс