10573. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно, а D
— основание высоты, проведённой из вершины A
. На отрезке MN
нашлась такая точка K
, что BK=CK
. Луч KD
пересекает окружность \Omega
, описанную около треугольника ABC
, в точке Q
. Докажите, что точки C
, N
, K
и Q
лежат на одной окружности.
Решение. Заметим, что прямая MN
— серединный перпендикуляр к отрезку AD
, поэтому
\angle MKQ=\angle MKD=\angle MKA.
Пусть A'
— точка, симметричная вершине A
относительно серединного перпендикуляра к стороне BC
. Тогда
\angle NKA'=\angle MKA=\angle MKQ,
значит, точки A'
, K
, D
и Q
лежит на одной прямой.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому
\angle KQC=\angle A'QC=\frac{1}{2}\smile A'C=\frac{1}{2}\smile AB=\angle ACB=\angle ANM=180^{\circ}-\angle KNC
(здесь \smile A'C
и \smile AB
— меньшие дуги окружности \Omega
). Следовательно, четырёхугольник CNKQ
вписанный.
Примечание. Аналогично можно доказать, что точки B
, M
, K
и Q
тоже лежат на одной окружности.