10575. Квадрат ABCD
вписан в окружность \omega
. На меньшей дуге CD
окружности \omega
выбрана произвольная точка M
. Внутри квадрата отмечены такие точки K
и L
, что KLMD
— квадрат. Найдите \angle AKD
.
Ответ. 135^{\circ}
.
Решение. Вписанный угол CMD
опирается на дугу CAD
, поэтому
\angle CMD=\frac{1}{2}\smile CAD=\frac{1}{2}\cdot270^{\circ}=135^{\circ}.
Треугольник AKD
равен треугольнику CMD
, так как AD=CD
, DK=DM
и
\angle ADK=\angle ADM-\angle KDM=\angle ADM-90^{\circ}=\angle ADM-\angle ADC=\angle CDM.
Следовательно,
\angle AKD=\angle CMD=135^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2018-2019, XLV, школьный этап, № 4, 10 класс