10576. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
выбрали точки D
, E
и F
соответственно так, что EF\parallel AB
и AD\parallel AC
. Прямые DF
и FK
пересекаются в точке K
. Оказалось, что DF=FK
. Найдите отношение BE:EC
.
Ответ. 2:1
.
Решение. Из условия следует, что точка C
лежит между E
и K
. Отрезок EF
— средняя линия треугольника BDK
, а отрезок CF
— средняя линия треугольника EDK
. Значит,
EK=BE,~EC=\frac{1}{2}EK=\frac{1}{2}BE.
Следовательно,
\frac{BE}{EC}=\frac{BE}{\frac{1}{2}BE}=2.
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск). — 2007-2008, № 3, 8 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск, 2007—2010) / Сост. А. В. Адельшин, Е. Г. Кукина, И. А. Латыпов, С. В. Усов, И. А. Чернявская, А. В. Шаповалов, А. С. Штерн. — М.: МЦНМО, 2011. — № 81, с. 20