10579. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=10
, BC=12
, BD=15
, \angle A=\angle D
, \angle ABD=\angle BCD
. Найдите CD
.
Ответ. 18.
Решение. Обозначим
\angle A=\angle D=\alpha,~\angle ABD=\angle BCD=\beta.
Пусть E
— точка пересечения прямых AD
и BC
. Докажем, что точка E
лежит на продолжении стороны AD
за точку A
. Для этого достаточно доказать, что \angle BAD+\angle ABC\gt180^{\circ}
.
Действительно,
\angle BAD+\angle ABC=\alpha+\angle ABC\gt\alpha+\angle ABD=\alpha+\beta=\angle ADC+\angle BCD,
а так как сумма углов четырёхугольника ABCD
равна 360^{\circ}
, то \angle BAD+\angle ABC\gt180^{\circ}
. Что и требовалось.
Заметим, что
\angle BED=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ADB=\angle EDB,
значит, треугольник DBE
равнобедренный, BE=BD=15
. Тогда CE=27
.
Треугольник DCE
подобен треугольнику ABD
по двум углам, значит, \frac{CD}{AB}=\frac{CE}{BD}
. Следовательно,
CD=\frac{AB\cdot CE}{BD}=\frac{10\cdot27}{15}=18.
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск). — 2008-2009, № 5, 9 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск, 2007—2010) / Сост. А. В. Адельшин, Е. Г. Кукина, И. А. Латыпов, С. В. Усов, И. А. Чернявская, А. В. Шаповалов, А. С. Штерн. — М.: МЦНМО, 2011. — № 107, с. 24