10580. Прямоугольный треугольник ABC
(катет BC
больше катета AC
) вписан в окружность. На стороне BC
выбрана такая точка D
, что BD=AC
, точка E
— середина дуги ACB
. Найдите угол CED
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Треугольники BDE
и ACE
равны по двум сторонам и углу между ними, поскольку BD=AC
по условию, BE=AE
, так как E
— середина дуги ACB
, а \angle DBE=\angle CBE=\angle CAE
по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну дугу. Значит, \angle DEB=\angle CEA
. Следовательно,
\angle CED=\angle CEA+\angle AED=\angle DEB+\angle AED=\angle AEB=90^{\circ}.
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск). — 2009-2010, № 3, 9 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск, 2007—2010) / Сост. А. В. Адельшин, Е. Г. Кукина, И. А. Латыпов, С. В. Усов, И. А. Чернявская, А. В. Шаповалов, А. С. Штерн. — М.: МЦНМО, 2011. — № 111, с. 24