10581. В четырёхугольнике ABCD
угол D
острый, а угол A
тупой. Известно, что CD=2AB
и S_{\triangle ACD}=2S_{\triangle ABD}
. Найдите отношение \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COD}}
, где O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника.
Ответ. 1:4
.
Решение. Пусть CP
и BQ
— высоты треугольников ACD
и ABD
с общим основанием AD
. Из равенства S_{\triangle ACD}=2S_{\triangle ABD}
следует, что CP=2BQ
, а так как CD=2AB
, то прямоугольные треугольники CPD
и BQA
подобны, причём коэффициент подобия равен 2. (Действительно, если M
и N
— середины отрезков CD
и CP
соответственно, то прямоугольные треугольники CNM
и BQA
равны по катету и гипотенузе, значит, \angle DCP=\angle BAQ
, откуда следует подобие треугольников CPD
и BQA
по двум сторонам и углу между ними.)
Из равенства углов \angle DCP=\angle BAQ
следует, что AB\parallel CD
. Треугольник AOB
подобен треугольнику COD
с коэффициентом \frac{1}{2}
, следовательно, \frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COD}}=\frac{1}{4}
.
Автор: Усов С. В.
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск). — 2007-2008, № 2, 10 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск, 2007—2010) / Сост. А. В. Адельшин, Е. Г. Кукина, И. А. Латыпов, С. В. Усов, И. А. Чернявская, А. В. Шаповалов, А. С. Штерн. — М.: МЦНМО, 2011. — № 116, с. 25