10583. На большем катете AC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
как на диаметре построена полуокружность, пересекающая гипотенузу AB
. На полуокружности выбрана такая точка P
, что CP=BC
, а на дуге CP
полуокружности выбрана произвольная точка S
. Докажите, что \angle CSP=2\angle CBP
.
Решение. Поскольку CP=BC
, треугольник BCP
равнобедренный. Значит, \angle BPC=\angle CBP
. Прямая CB
перпендикулярна диаметру окружности, поэтому CB
— касательная к этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle CAP=\angle BCP
. Четырёхугольник APSC
вписанный, поэтому
\angle CSP=180^{\circ}-\angle CAP=180^{\circ}-\angle BCP=2\angle CBP.
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск). — 2009-2010, № 4, 10 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск, 2007—2010) / Сост. А. В. Адельшин, Е. Г. Кукина, И. А. Латыпов, С. В. Усов, И. А. Чернявская, А. В. Шаповалов, А. С. Штерн. — М.: МЦНМО, 2011. — № 130, с. 27