10583. На большем катете AC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
как на диаметре построена полуокружность, пересекающая гипотенузу AB
. На полуокружности выбрана такая точка P
, что CP=BC
, а на дуге CP
полуокружности выбрана произвольная точка S
. Докажите, что \angle CSP=2\angle CBP
.
Решение. Поскольку CP=BC
, треугольник BCP
равнобедренный. Значит, \angle BPC=\angle CBP
. Прямая CB
перпендикулярна диаметру окружности, поэтому CB
— касательная к этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой \angle CAP=\angle BCP
. Четырёхугольник APSC
вписанный, поэтому
\angle CSP=180^{\circ}-\angle CAP=180^{\circ}-\angle BCP=2\angle CBP.