10584. Диагонали, проведённые из каждой вершины n
-угольника, делят угол при этой вершине на равные части. При каких значениях n
существует такой n
-угольник, не являющийся правильным?
Ответ. n=4
.
Решение. Поскольку каждая диагональ такого многоугольника проходит между сторонами его угла, многоугольник выпуклый.
Ясно, что условию задачи удовлетворяет любой ромб. Докажем, что при других таких многоугольников не существует.
Пусть A_{1}A_{2}\dots A_{n}
— многоугольник при n\gt4
, \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, …, \alpha_{n}
— его углы при вершинах A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
соответственно. Каждый угол разбивается диагоналями на n-2
равных углов. Сумма углов треугольника A_{1}A_{2}A_{3}
равна 180^{\circ}
, т. е.
\frac{\alpha_{1}}{n-2}+\alpha_{2}+\frac{\alpha_{3}}{n-2}=180^{\circ},
поэтому
(n-2)\alpha_{2}+\alpha_{1}+\alpha_{3}=180^{\circ}(n-2),
а так как сумма всех углов n
-угольника также равна 180^{\circ}(n-2)
, то
(n-2)\alpha_{2}+\alpha_{1}+\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\dots+\alpha_{n},
откуда
\alpha_{2}=\frac{\alpha_{2}+\alpha_{4}+\dots+\alpha_{n}}{n-2}.
Аналогично для любого угла при вершине многоугольника, т. е. любой угол при вершине многоугольника равен среднему арифметическому всех его углов, кроме, может быть, двух соседних.
Известно, что среднее арифметическое n
чисел не меньше наименьшего и не больше наибольшего из этих чисел, причём равенства наступают только в случае, когда все числа равны. Пусть \alpha_{2}
— наибольший угол многоугольника. Тогда из последнего равенства следует, что угол \alpha_{2}
равен каждому углу многоугольника, кроме двух соседних. Аналогично для наименьшего угла. Поскольку n\gt4
, найдётся угол, равный наибольшему и наименьшему углу многоугольника, значит, все углы равны.
Рассматривая все треугольники A_{k}A_{k+1}A_{k+2}
, получим, что они равнобедренные, а все углы многоугольника равны. Следовательно, этот многоугольник правильный.