10585. Из точек C
и D
, лежащих на биссектрисе угла AOB
, на стороны угла опущены перпендикуляры CA
и DB
. Точка K
— середина отрезка CD
. Докажите, что KA=KB
.
Решение. Пусть DE
— перпендикуляр, опущенный из точки D
на сторону OA
данного угла. Прямоугольные треугольники DEO
и DBO
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому OE=OB
. Тогда треугольники OKE
и OKB
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, KB=KE
.
Пусть KM
— перпендикуляр, опущенный из точки K
на сторону OA
данного угла. Поскольку K
— середина отрезка CD
, прямая KM
— серединный перпендикуляр к отрезку AE
. Следовательно,
AK=KE=KB.
Что и требовалось доказать.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 7.44, с. 52