1059. Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на эти прямых пропорциональные отрезки.
Решение. Пусть точки A
, B
и C
лежат на прямой a
, а параллельные прямые, проходящие через точки A
, B
и C
, пересекают прямую b
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Утверждается, что \frac{AB}{BC}=\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}
.
Предположим, что отрезки AB
и BC
соизмеримы, т. е. найдётся отрезок длины h
, который укладывается целое число раз в каждом из отрезков AB
и BC
. Пусть AB=mh
и BC=nh
, где m
и n
— натуральные числа. Разобьём отрезок AB
на m
равных частей, а отрезок BC
— на n
равных частей. Тогда длина каждого из полученных отрезков равна h
. Через концы всех этих отрезков проведём прямые, параллельные AA_{1}
. Тогда по теореме Фалеса отрезки A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
разобьются соответственно на m
и n
равных отрезков какой-то длины h_{1}
. Значит, A_{1}B_{1}=mh_{1}
и B_{1}C_{1}=nh_{1}
. Следовательно,
\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}=\frac{mh_{1}}{nh_{1}}=\frac{m}{n}=\frac{AB}{BC}.
Рассмотрим теперь случай, когда отрезки AB
и CD
несоизмеримы. Предположим, что \frac{AB}{BC}\ne\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}
, или \frac{AB}{AC}\ne\frac{A_{1}B_{1}}{A_{1}C_{1}}
, например, что \frac{AB}{AC}\gt\frac{A_{1}B_{1}}{A_{1}C_{1}}
. Тогда на луче AB
можно отложить такой отрезок AK
, чтобы AK\lt AB
и \frac{AK}{AC}=\frac{A_{1}B_{1}}{A_{1}C_{1}}
(т. е. AK=AC\cdot\frac{A_{1}B_{1}}{A_{1}C_{1}}
). Разобьём отрезок AC
на большое число n
равных частей и проведём через точки деления прямые, параллельные AA_{1}
.
При достаточно большом n
на отрезке KB
будут точки деления. Пусть Y
— одна из них, а X
— соответствующая ей точка на отрезке A_{1}B_{1}
. Поскольку XY\parallel AA_{1}\parallel BB_{1}
и AY\lt AB
, то A_{1}X\lt A_{1}B_{1}
.
По доказанному \frac{A_{1}X}{A_{1}C_{1}}=\frac{AY}{AC}
. Разделив это равенство на равенство \frac{A_{1}B_{1}}{A_{1}C_{1}}=\frac{AK}{AC}
, получим, что \frac{A_{1}X}{A_{1}B_{1}}=\frac{AY}{AK}
, а так как AY\gt AK
, то A_{1}X\gt A_{1}B_{1}
. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Примечание. Верно и обратное утверждение: если на одной стороне угла с вершиной O
последовательно отложить отрезки OA
и AB
, а на второй стороне — последовательно отрезки OA_{1}
и A_{1}B_{1}
и при этом \frac{OA}{AB}=\frac{OA_{1}}{A_{1}B_{1}}
, то AB\parallel A_{1}B_{1}
.
Действительно, предположим, что это не так. Тогда через точку A
проведём прямую, параллельную BB_{1}
. Пусть эта прямая пересекает OB_{1}
в точке A_{1}'
. Тогда по доказанному \frac{OA_{1}'}{A_{1}'B_{1}}=\frac{OA}{AB}=\frac{OA_{1}}{A_{1}B_{1}}
. Следовательно, точка A_{1}'
совпадает с точкой A_{1}
. Отсюда следует доказываемое утверждение.