10599. Два одинаково ориентированных квадрата OABC
и OA_{1}B_{1}C_{1}
имеют общую вершину O
. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Опишем окружности около квадратов. Пусть P
— общая точка этих окружностей, отличная от O
.
Точка P
лежит на окружности с диаметром OB
, поэтому \angle OPB=90^{\circ}
. Аналогично \angle OPB_{1}=90^{\circ}
. Следовательно, точки B
, P
и B_{1}
лежат на одной прямой.
Вписанный угол APB
равен половине дуги AB
, не содержащей точки O
, т. е.
\angle APB=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Аналогично \angle A_{1}PB_{1}=45^{\circ}
. Значит, прямая AA_{1}
проходит через точку P
. Аналогично докажем, что прямая CC_{1}
также проходит через точку P
. Следовательно, прямые BB_{1}
, AA_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке P
.
Аналогично для любого другого возможного расположения квадратов.
Второй способ. Пусть окружности, описанные около квадратов, вторично пересекаются в точке P
. Эти окружности равны, поэтому прямые BP
, CP
и DP
проходят через точки B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
соответственно (см. задачу 12935), т. е. прямые BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
проходят через точку P
.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1975/1976, III тур, 9 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 590, с. 63
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.97, с. 180