10601. Через внутреннюю точку O
треугольника ABC
и его вершины проводятся прямые, пересекающие противоположные стороны в точках P
, Q
и R
. Докажите, что
OP\cdot OQ\cdot OR\leqslant\frac{1}{8}OA\cdot OB\cdot OC.
Решение. Пусть точки P
, Q
и R
лежат на сторонах BC
, AC
и AB
соответственно, M
и N
— проекции точек соответственно A
и O
на сторону BC
. Из подобия прямоугольных треугольников ONP
и AMP
получаем, что
\frac{OP}{AO+OP}=\frac{OP}{AP}=\frac{ON}{AM}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}}.
Аналогично
\frac{OQ}{BO+OQ}=\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{OR}{CO+OR}=\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ABC}}.
Тогда
\frac{OP}{AO+OP}+\frac{OQ}{BO+OQ}+\frac{OR}{CO+OR}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ABC}}=
=\frac{S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=1.
Обозначим
\frac{AO}{OP}=x,~\frac{BO}{OQ}=y,~\frac{CO}{OR}=z.
Тогда
\frac{OP}{AO+OP}+\frac{OQ}{BO+OQ}+\frac{OR}{CO+OR}=\frac{1}{\frac{AO}{OP}+1}+\frac{1}{\frac{BO}{OQ}+1}+\frac{1}{\frac{CO}{OR}+1}=
=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1~\Rightarrow~2+x+y+z-xyz=0,
а так как x+y+x\geqslant3\sqrt[{3}]{{xyz}}
, то 2+3\sqrt[{3}]{{xyz}}-xyz\leqslant0
.
Обозначим \sqrt[{3}]{{xyz}}=u
. Тогда
2+3u-u^{2}\leqslant0~\Leftrightarrow~(2-u)(u+1)^{2}\leqslant0,
а так как (u+1)^{2}\geqslant0
, то u\geqslant2
. Значит, \sqrt[{3}]{{xyz}}\geqslant2
, или xyz\geqslant8
, т. е.
\frac{AO}{OP}\cdot\frac{BO}{OQ}\cdot\frac{CO}{OR}\geqslant8.
Следовательно,
OP\cdot OQ\cdot OR\leqslant\frac{1}{8}OA\cdot OB\cdot OC.